在 $\triangle ABC$ 中，已知 $2{\sin ^2}\dfrac{{A + B}}{2} - \cos 2C = 1$，外接圆半径 $R = 2$．
【难度】
【出处】
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
【标注】
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求角 $C$ 的大小；标注答案$\dfrac{2\pi}{3}$解析根据二倍角公式，$$2{\sin ^2}\dfrac{{A + B}}{2} - \cos 2C = 1$$可变形为$$1 - \cos \left( {A + B} \right) - \left( {2{{\cos }^2}C - 1} \right) = 1,$$整理得$$2{\cos ^2}C - \cos C - 1 = 0,$$解得 $\cos C = - \dfrac{1}{2}$ 或 $\cos C = 1$（舍去），于是 $C = \dfrac{2\pi}{3}$．
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求 $\triangle ABC$ 的面积的最大值．标注答案$\sqrt 3 $解析根据三角形面积公式，得 $\triangle ABC$ 的面积$$S = \dfrac{{4R}^2}{2}\sin A\sin B\sin C = 4\sqrt 3 \sin A\sin B$$再结合均值不等式，得$$\begin{split}\sin A\sin B &\leqslant {\left( {\dfrac{{\sin A + \sin B}}{2}} \right)^2}\\ &= {\left( {\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}} \right)^2}\\ &\leqslant \dfrac{1}{4}.\end{split}$$等号当且仅当 $A = B$ 时取得（其中用到和差化积）．
于是当 $A = B = \dfrac{\pi }{6}$，$C = \dfrac{2\pi}{3}$ 时，$\triangle ABC$ 的面积 $S$ 的最大值为 $\sqrt 3 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
