点 $P,Q$ 分别在抛物线 $M:{y^2} + 1 = x$ 和抛物线 $N:{x^2} + 1 + y = 0$ 上，求 $P,Q$ 的最小距离．
【难度】
【出处】
2008年南开大学自主招生考试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}$
【解析】
注意到这两条抛物线关于直线 $y = - x$ 对称，于是当 $\left| {PQ} \right|$ 最小时，$P$ 与 $Q$ 关于直线 $y = - x$ 对称．
问题转化为求抛物线 $y = - {x^2} - 1$ 上的点到直线 $x + y = 0$ 的最小距离的两倍．
设抛物线上一点 $\left( {x, - {x^2} - 1} \right)$，则该点到直线 $x + y = 0$ 的距离$$d\left( x \right) = \dfrac{{\left| {x - {x^2} - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \geqslant \dfrac{3}{{4\sqrt 2 }},$$当且仅当 $x = \dfrac{1}{2}$ 时取得等号．
因此 $P,Q$ 之间的最小距离为 $\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}$，此时 $P,Q$ 的坐标为 $\left( {\dfrac{5}{4}, - \dfrac{1}{2}} \right)$ 和 $\left( {\dfrac{1}{2}, - \dfrac{5}{4}} \right)$．
问题转化为求抛物线 $y = - {x^2} - 1$ 上的点到直线 $x + y = 0$ 的最小距离的两倍．
设抛物线上一点 $\left( {x, - {x^2} - 1} \right)$，则该点到直线 $x + y = 0$ 的距离$$d\left( x \right) = \dfrac{{\left| {x - {x^2} - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \geqslant \dfrac{3}{{4\sqrt 2 }},$$当且仅当 $x = \dfrac{1}{2}$ 时取得等号．
因此 $P,Q$ 之间的最小距离为 $\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}$，此时 $P,Q$ 的坐标为 $\left( {\dfrac{5}{4}, - \dfrac{1}{2}} \right)$ 和 $\left( {\dfrac{1}{2}, - \dfrac{5}{4}} \right)$．
答案
解析
备注
