已知 $\sin x+\cos x=\sqrt{1+\sin 2x}$，求 $x$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2008年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
$\bigcup\limits_{k\in\mathbb Z}\left[2k\pi-\dfrac{\pi}{4},2k\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right]$
【解析】
考虑到$${{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=1+\sin 2x,$$于是 $x$ 的取值范围由$$\begin{cases}\sin x+\cos x\geqslant 0, \\ 1+\sin 2x\geqslant 0, \end{cases}$$限定，即$$\begin{cases}\sin \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right)>0, \\ \sin 2x\geqslant -1,\end{cases}$$因此 $x$ 的取值范围是 $\bigcup\limits_{k\in\mathbb Z}\left[2k\pi-\dfrac{\pi}{4},2k\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right]$
答案
解析
备注
