曲线 $C$：$y=-{{x}^{2}}+5x-1$，过原点 $O$ 与 $C$ 相切于 $P$（$P$ 在第一象限）的切线为 $y=kx$．
【难度】
【出处】
2008年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
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求 $k$ 的值与点 $P$ 的坐标；标注答案$k=3$，$P\left( 1,3 \right)$解析如图，
联立直线与抛物线方程，有$$-{{x}^{2}}+5x-1=kx,$$即$${{x}^{2}}+\left( k-5 \right)x+1=0,$$其判别式$$\Delta ={{\left( k-5 \right)}^{2}}-4=0,$$解得 $k=7$ 或 $k=3$．情形一 当 $k=7$ 时，切点横坐标为 $-\dfrac{k-5}{2}=-1$，舍去；情形二 当 $k=3$ 时，切点横坐标为 $-\dfrac{k-5}{2}=1$，符合题意．
因此 $k=3$，$P\left( 1,3 \right)$． -
若 $PQ\perp PO$，$Q$ 在抛物线上，求 $Q$ 点的坐标；标注答案$Q\left( \dfrac{13}{3},\dfrac{17}{9} \right)$解析直线 $PQ$ 的方程为$$y=-\dfrac{1}{3}\left( x-1 \right)+3,$$而抛物线的方程为$$y=-\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)+3,$$于是 $Q\left( \dfrac{13}{3},\dfrac{17}{9} \right)$．
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抛物线上是否存在点 $R$，使 ${{S}_{\triangle POQ}}={{S}_{\triangle PQR}}$．标注答案存在解析直线 $PQ:y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{10}{3}$，所以考虑直线 $y=-\dfrac{1}{3}x$ 及 $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{20}{3}$ 与抛物线的关系．
因为直线 $y=-\dfrac{1}{3}x$ 与抛物线相交于两点，直线 $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{20}{3}$ 与抛物线相离，
所以存在符合题意的点 $R$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
