求 ${\sin ^4}10^\circ + {\sin ^4}50^\circ + {\sin ^4}70^\circ $ 的值．
【难度】
【出处】
2010年清华大学自主招生特色测试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{9}{8}$
【解析】
设原式为 $m$，由半角公式得\[\begin{split} m&={\sin ^4}10^\circ + {\sin ^4}50^\circ + {\sin ^4}70^\circ \\ & ={\left( {\dfrac{{1 - \cos 20^\circ }}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{1 - \cos 100^\circ }}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{1 - \cos 140^\circ }}{2}} \right)^2}\\ &= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 20^\circ + \cos 100^\circ + \cos 140^\circ } \right) + \dfrac{1}{4}\left( {{{\cos }^2}20^\circ + {{\cos }^2}100^\circ + {{\cos }^2}140^\circ } \right)\\ &= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 20^\circ + \cos 140^\circ + \cos 260^\circ } \right) + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{1 + \cos 40^\circ }}{2} + \dfrac{{1 + \cos 200^\circ }}{2} + \dfrac{{1 + \cos 280^\circ }}{2}} \right)\\ &= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\left[ {\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 40^\circ + \cos 160^\circ + \cos 280^\circ } \right)} \right]\\
&= \dfrac{9}{8}.\end{split}\]
&= \dfrac{9}{8}.\end{split}\]
答案
解析
备注
