已知 $3{{x}^{2}}+\dfrac{a}{{{x}^{3}}}\geqslant 45$（$x>0$）恒成立，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2008年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
$\left[ 486,+\infty \right)$
【解析】
显然 $a>0$，且$$3{{x}^{2}}+\dfrac{a}{{{x}^{3}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\dfrac{a}{2{{x}^{3}}}+\dfrac{a}{2{{x}^{3}}}\geqslant 5{{\left( \frac{{{a}^{2}}}{4} \right)}^{\frac{1}{5}}}$$当且仅当 ${{x}^{2}}=\dfrac{a}{2{{x}^{3}}}$ 时取得等号，
因此 $5{{\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{4} \right)}^{\frac{1}{5}}}\geqslant 45$，解得$$a\geqslant {{\left( 4\cdot {{9}^{5}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=2\cdot {{3}^{5}}=486.$$因此 $a$ 的取值范围为 $\left[ 486,+\infty \right)$．
因此 $5{{\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{4} \right)}^{\frac{1}{5}}}\geqslant 45$，解得$$a\geqslant {{\left( 4\cdot {{9}^{5}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=2\cdot {{3}^{5}}=486.$$因此 $a$ 的取值范围为 $\left[ 486,+\infty \right)$．
答案
解析
备注
