在蒲丰投针试验中，平行线间距为 $a$，针长为 $b$，试求针与线相交概率与 $a$、$b$ 的关系，并求在什么情况下概率是 $\dfrac{1}{\pi}$．
【难度】
【出处】
2010年清华大学自主招生特色测试数学试题
【标注】
【答案】
$P(A) = \dfrac{{2b}}{{a\pi}}$；当 $a=2b$ 时，$P(A)=\dfrac 1{\pi}$
【解析】
用针的中点到与之最近的平行线的距离 $x$，以及平行线与针的夹角 $\theta $ 构成的有序数列 $(x,\theta)$ 表示针的位置，则 $x \in \left[ {0, \dfrac{a}{2}} \right]$，$\theta \in \left[ {0, \dfrac{\pi}{2}} \right]$．
如图，
此时事件 $A$：针与直线相交，即 $x \leqslant \dfrac{{b\sin \theta }}{2}$，因此$$P(A) = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{{b\sin \theta }}{2}{\mathrm{d}}\theta } }}{{\frac{a}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}} = \dfrac{{2b}}{{a\pi}},$$所以当 $a=2b$ 时，$P(A)=\dfrac 1{\pi}$．
如图，
此时事件 $A$：针与直线相交，即 $x \leqslant \dfrac{{b\sin \theta }}{2}$，因此$$P(A) = \dfrac{{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\frac{{b\sin \theta }}{2}{\mathrm{d}}\theta } }}{{\frac{a}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}} = \dfrac{{2b}}{{a\pi}},$$所以当 $a=2b$ 时，$P(A)=\dfrac 1{\pi}$．
答案
解析
备注
