某房产开发公司用 $80$ 万元购得建房基地一块，计划建造一栋每层 $1000$ 平方米的楼房，每一层每平方米所需建筑费用（不包括土地购置费用）为 $500$ 元，第二层每平方米所需建筑费用为 $600$ 元，$\cdots$，以后每升高一层，每平方米所需建筑费用增加 $100$ 元．要使这栋大楼的每平方米平均造价不超过 $950$ 元，则这栋楼最多能造几层？
【难度】
【出处】
2008年上海财经大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
第一层所需建筑费用为 $50$ 万元，此后每升高一层，费用增加 $10$ 万元．
设第 $n$ 层所需建筑费用为 ${a_n}$（单位：$10$ 万元），则 ${a_1} = 5$，${a_{n + 1}} - {a_n} = 1$，因此 ${a_n} = n + 4$，于是$$\dfrac{{8 + {S_n}}}{{n \cdot {{10}^3}}} = \dfrac{{8 + \frac{{n\left( {n + 9} \right)}}{2}}}{{n \cdot {{10}^3}}} = \dfrac{{{n^2} + 9n + 16}}{{2000n}} \leqslant \dfrac{{950}}{{100000}},$$解得 $2 \leqslant n \leqslant 8$，因此这栋楼最多能造 $8$ 层．
设第 $n$ 层所需建筑费用为 ${a_n}$（单位：$10$ 万元），则 ${a_1} = 5$，${a_{n + 1}} - {a_n} = 1$，因此 ${a_n} = n + 4$，于是$$\dfrac{{8 + {S_n}}}{{n \cdot {{10}^3}}} = \dfrac{{8 + \frac{{n\left( {n + 9} \right)}}{2}}}{{n \cdot {{10}^3}}} = \dfrac{{{n^2} + 9n + 16}}{{2000n}} \leqslant \dfrac{{950}}{{100000}},$$解得 $2 \leqslant n \leqslant 8$，因此这栋楼最多能造 $8$ 层．
答案
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备注
