${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ 的三根分别为 $a,b,c$，并且 $a,b,c$ 是不全为零的有理数，求 $a,b,c$ 的值．
【难度】
【出处】
2005年上海交通大学保送推优生考试
【标注】
【答案】
$(a,b,c)=(1,-2,0),(1,-1,-1)$
【解析】
根据三次方程的韦达定理，知$$\begin{cases}
a = - \left( {a + b + c} \right) ,\\
b = ab + bc + ca ,\\
c = - abc ,\\
\end{cases}$$由 $c = - abc$，得 $c = 0$ 或 $ab = - 1$．
情形一 若 $c = 0$，则$$\begin{cases}
2a + b = 0 ,\\
b = ab ,\\
\end{cases}$$解得 $\left( {0,0,0} \right)$（舍去）或 $\left( {1, - 2,0} \right)$．
情形二 若 $ab = - 1$，则$$\begin{cases}
2a + b + c = 0 ,\\
b = bc + ca - 1 ,\\
\end{cases}$$解得 $\left( {1, - 1, - 1} \right)$．
因此 $\left( {a,b,c} \right) = \left( {1, - 2,0} \right)$，$ \left( {1, - 1, - 1} \right)$．
a = - \left( {a + b + c} \right) ,\\
b = ab + bc + ca ,\\
c = - abc ,\\
\end{cases}$$由 $c = - abc$，得 $c = 0$ 或 $ab = - 1$．
2a + b = 0 ,\\
b = ab ,\\
\end{cases}$$解得 $\left( {0,0,0} \right)$（舍去）或 $\left( {1, - 2,0} \right)$．
2a + b + c = 0 ,\\
b = bc + ca - 1 ,\\
\end{cases}$$解得 $\left( {1, - 1, - 1} \right)$．
因此 $\left( {a,b,c} \right) = \left( {1, - 2,0} \right)$，$ \left( {1, - 1, - 1} \right)$．
答案
解析
备注
