在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$ 为棱 $AB$ 的中点．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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求二面角 ${B_1} - EC - B$ 的正切值；标注答案$\sqrt 5 $解析作 $BN\perp CE$，交 $CE$ 于 $N$，则$$BN=\dfrac {\sqrt 5}{5},$$且 $\angle B_1NB$ 即为二面角 ${B_1} - EC - B$ 的平面角，因此二面角 ${B_1} - EC - B$ 的正切值为$$\dfrac {B_1B}{BN}=\sqrt 5.$$
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求四面体 $E - {B_1}{D_1}C$ 的体积．标注答案$\dfrac{1}{4}{a^3}$解析因为 $\triangle CB_1D_1$ 为等边三角形，边长为 $\sqrt 2a$，所以 $\triangle CB_1D_1$ 的面积$$S=\dfrac {\sqrt 3}{2}a^2.$$因为 $E$ 为 $AB$ 中点，所以 $E$ 到平面 $A_1BD$ 的距离等于 $A$ 到平面 $A_1BD$ 距离的一半，即 $E$ 到平面 $CB_1D_1$ 的距离等于体对角线的 $\dfrac 13+\dfrac 13\cdot \dfrac 12=\dfrac 12$，因此四面体 $E - {B_1}{D_1}C$ 的体积为$$V=\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\cdot \sqrt 3a\right)\cdot S=\dfrac 13a^3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
