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在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$ 为 $CD$ 的中点．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何体
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    空间几何体的形体分析
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    空间几何体的体积
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何量
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    空间的距离
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    点面距离
  1. 求证：四面体 $A - {A_1}{C_1}E$ 与四面体 $C - {A_1}{C_1}E$ 的体积相等；
    标注
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      立体几何
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      空间几何体
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      空间几何体的形体分析
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      空间几何体的体积
    答案
    略
    解析
    因为 $A_1C_1\parallel AC$，所以 $A$，$C$ 到平面 $A_1C_1E$ 的距离相同，因此四面体 $A - {A_1}{C_1}E$ 与四面体 $C - {A_1}{C_1}E$ 的体积相等．
  2. 求点 $A$ 到平面 ${A_1}{C_1}E$ 的距离．
    标注
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      点面距离
    答案
    $\dfrac{1}{3}a$
    解析
    解 $\triangle A_1C_1E$，得 $\triangle A_1C_1E$ 的面积为$$S=\dfrac 34a^2.$$因为四面体 $C - {A_1}{C_1}E$ 的体积$$\begin{split}V&=\dfrac 13\cdot(\dfrac 12\cdot |CE|\cdot |CC_1|)\cdot |AD|\\ &=\dfrac 16\cdot a\cdot \dfrac 12a\cdot a\\ &=\dfrac {1}{12}a^3,\end{split}$$所以点 $A$ 到平面 ${A_1}{C_1}E$ 的距离为 $\dfrac{3V}{S}=\dfrac 13a$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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