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若函数 $f(x)=\dfrac x{1+x}$，且 $f^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(f\cdots f(x)))}_{n\text{个}f}$，则 $f^{(2011)}(1)=$  \((\qquad)\)
A: $\dfrac 1{2012}$
B: $\dfrac 1{2011}$
C: $0$
D: $1$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
    >
    迭代函数的解析式
【答案】
A
【解析】
由数学归纳法可得$$f^{(n)}(x)=\dfrac{x}{1+nx}.$$故$$f^{(2011)}(1)=\dfrac 1{2012}.$$
题目 答案 解析 备注
0.109098s