设 $S$ 是向量的集合，如果对 $S$ 中的元素 $\overrightarrow a $，$\overrightarrow a $ 的长度不小于其余所有向量之和的长度，那么称 $\overrightarrow a $ 是 $S$ 中的一个长向量．对于 $S = \left\{ {\overrightarrow {{a_1}} , \overrightarrow {{a_2}} , \cdots , \overrightarrow {{a_n}} } \right\}$，$n > 2$，已知 $S$ 中的每一个向量都为长向量，证明：$\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \cdots + \overrightarrow {{a_n}} = \overrightarrow 0 $．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \cdots + \overrightarrow {{a_n}} = \overrightarrow A $，则$$\left| {\overrightarrow {{a_i}} } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow A - \overrightarrow {{a_i}} } \right|,i = 1, 2, \cdots , n$$即$$\overrightarrow {{a_i}} \cdot \overrightarrow {{a_i}} \geqslant \overrightarrow A \cdot \overrightarrow A - 2\overrightarrow {{a_i}} \cdot \overrightarrow A + \overrightarrow {{a_i}} \cdot \overrightarrow {{a_i}} ,$$等价于$$\left( {\overrightarrow A - 2\overrightarrow {{a_i}} } \right) \cdot \overrightarrow A \leqslant 0,i = 1, 2, \cdots , n,$$各式相加，有$$\left( {n\overrightarrow A - 2\overrightarrow A } \right) \cdot \overrightarrow A \leqslant 0,$$即 ${\left| {\overrightarrow A } \right|^2} \leqslant 0$，所以 $\left| {\overrightarrow A } \right| = 0$，也即 $\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \cdots + \overrightarrow {{a_n}} = \overrightarrow 0 $．
答案
解析
备注
