有 $4$ 条长为 $2$ 的线段和 $2$ 条长为 $a$ 的线段，用这 $6$ 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 $a$ 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，体积的最大值为多少？
【难度】
【出处】
2010年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$a = 2\sqrt 2 $，最大值为 $\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
【解析】
分两种情况讨论．
情形一 两条长为 $a$ 的线段共面时，如图．
设 $AC = AD = a$，则$$\begin{split}V &= \dfrac{1}{3}{S_{\triangle BCD}} \cdot d\left( {A , BCD} \right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{3}{S_{\triangle BCD}} \cdot AB\\ &= \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3},\end{split}$$等号当且仅当 $a = 2\sqrt 2 $ 时取得．
情形二 两条长为 $a$ 的线段异面时，如图．
设 $AD = BC = a$，取 $BC$ 的中点 $M$，则$$AM \perp BC,DM\perp BC,$$于是 $BC \perp AMD$，所以$$V = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle AMD}} \cdot BC,AM = DM = \sqrt {4 - \dfrac{{{a^2}}}{4}} ,$$所以$${S_{\triangle AMD}} = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt {4 - \dfrac{{{a^2}}}{2}} ,$$于是$$\begin{split}V &= \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }} \cdot {a^2}\sqrt {8 - {a^2}}\\
&= \dfrac{1}{{12}}\sqrt {{a^2} \cdot {a^2} \cdot \left( {16 - 2{a^2}} \right)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{{12}}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3}} \right)}^3}}\\ &= \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{27}},\end{split}$$等号当且仅当 $a = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}$ 时取得．
结合以上两种情形，当 $a = 2\sqrt 2 $ 时，可构成最大体积的三棱锥，最大值为 $\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$．
设 $AC = AD = a$，则$$\begin{split}V &= \dfrac{1}{3}{S_{\triangle BCD}} \cdot d\left( {A , BCD} \right)\\ &\leqslant \dfrac{1}{3}{S_{\triangle BCD}} \cdot AB\\ &= \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3},\end{split}$$等号当且仅当 $a = 2\sqrt 2 $ 时取得．设 $AD = BC = a$，取 $BC$ 的中点 $M$，则$$AM \perp BC,DM\perp BC,$$于是 $BC \perp AMD$，所以$$V = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle AMD}} \cdot BC,AM = DM = \sqrt {4 - \dfrac{{{a^2}}}{4}} ,$$所以$${S_{\triangle AMD}} = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt {4 - \dfrac{{{a^2}}}{2}} ,$$于是$$\begin{split}V &= \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }} \cdot {a^2}\sqrt {8 - {a^2}}\\&= \dfrac{1}{{12}}\sqrt {{a^2} \cdot {a^2} \cdot \left( {16 - 2{a^2}} \right)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{{12}}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{16}}{3}} \right)}^3}}\\ &= \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{27}},\end{split}$$等号当且仅当 $a = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}$ 时取得．
结合以上两种情形，当 $a = 2\sqrt 2 $ 时，可构成最大体积的三棱锥，最大值为 $\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$．
答案
解析
备注
