已知三次方程 ${x^3} - 3{a^2}x - 6{a^2} + 3a = 0(a > 0)$ 只有一个实根且是正的，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2} , \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2}\right)$
【解析】
设 $f\left( x \right) = {x^3} - 3{a^2}x - 6{a^2} + 3a$，则$$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3{a^2},$$所以两个极值点为$${x_1} = - a,{x_2} = a,$$因此只需令 $f\left( { - a} \right) < 0$，即$$ - {a^3} + 3{a^3} - 6{a^2} + 3a < 0,$$解得 $\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2} < a < \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2}$．
答案
解析
备注
