设集合 $M = \left\{ {x\mid f\left( x \right) = x} \right\}$，$N = \left\{ {x\mid f\left( {f\left( x \right)} \right) = x} \right\}$．
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
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求证：$M \subseteq N$；标注答案略解析
情形一 若 $M = \varnothing $，命题显然成立；情形二 若 $M \ne \varnothing$，
对于任意 ${x_0} \in M$，都有 $f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0}$，所以 $M \subseteq N$． -
若 $f\left( x \right)$ 是一个在 ${\mathbb{R}}$ 上单调递增的函数，是否有 $M = N$？若是，请证明．标注答案是解析
情形一 若 $N = \varnothing $，则 $N \subseteq M$，所以 $M = N$；情形二 若 $N \ne \varnothing $，则对于任意 ${x_0} \in N$，即有$$f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) = {x_0}.$$若 $f\left( {{x_0}} \right) > {x_0}$，则 $f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) > f\left( {{x_0}} \right)$，矛盾；
若 $f\left( {{x_0}} \right) < {x_0}$，则 $f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) < f\left( {{x_0}} \right)$，矛盾；
于是$$f\left( {{x_0}} \right) = {x_0},$$故 $N \subseteq M$，于是 $M = N$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
