已知 $y = \dfrac{{a{x^2} + 8x + b}}{{{x^2} + 1}}$ 的最大值为 $9$，最小值为 $1$，求实数 $a,b$．
【难度】
【出处】
2005年上海交通大学保送推优生考试
【标注】
【答案】
$a = 5$，$b = 5$
【解析】
由题意，得$$\left( {a - y} \right){x^2} + 8x + \left( {b - y} \right) = 0.$$因为$$\Delta = 64-4(a-y)(b-y) \geqslant 0,$$即$$y^2-(a+b)y+ab-16\leqslant 0.$$因为 $1 \leqslant y \leqslant 9$，所以$${y^2} - 10y + 9 \leqslant 0,$$于是$$\begin{cases}
a + b = 10 ,\\
ab - 16 = 9 ,\\
\end{cases}$$解得 $a = b = 5$．
a + b = 10 ,\\
ab - 16 = 9 ,\\
\end{cases}$$解得 $a = b = 5$．
答案
解析
备注
