设 $a$、$b$、$c$ 为正数．证明：$$\sqrt {a^2+ab+b^2}+\sqrt {a^2+ac+c^2}\geqslant 4\sqrt {\left(\dfrac {ab}{a+b}\right)^2+\left(\dfrac {ab}{a+b}\right)\left(\dfrac {ac}{a+c}\right)+\left(\dfrac {ac}{a+c}\right)^2}.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于$$(a+b)^2\geqslant 4ab, (a+c)^2 \geqslant 4ac,$$所以$$\dfrac {ab}{a+b}\leqslant \dfrac {a+b}{4},\dfrac {ac}{a+c}\leqslant \dfrac {a+c}{4}.$$要证$$\sqrt {a^2+ab+b^2}+\sqrt {a^2+ac+c^2}\geqslant \sqrt {(a+b)^2+(a+b)(a+c)+(a+c)^2},$$两边平方，即要证$$\sqrt {(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)}\geqslant a^2+2ab+2ac+bc ,$$再平方，得$$(a-bc)^2\geqslant 0,$$显然成立，因此原不等式得证．
答案
解析
备注
