2014年全国高中数学联赛江西省预赛

略

设 $P(x_1,y_1)$ 在抛物线上，在 $Q(x_2,y_2)$ 椭圆上，焦点 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，则抛物线切线方程为$$x_1x-p(y+y_1)=0,$$椭圆切线方程为$$\dfrac {y_2y}{a^2}+\dfrac {x_2x}{b^2}=1,$$且它们为同一直线，所以$$\dfrac {a^2x_2}{x_1}=\dfrac {b^2y_2}{-p}=\dfrac {a^2b^2}{py},$$即$$y_1y_2=-a^2,x_1x_2=2b^2,\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$故$$\begin{split}k_{FP}\cdot k_{FQ}&=\dfrac {y_1-\dfrac p2}{x_1}\cdot\dfrac {y_2-\dfrac p2}{x_2}\\ &=\dfrac {\dfrac 14p^2-\dfrac p2(y_1+y_2)-a^2}{2b^2}. \quad \cdots\cdots \text{ ② }\end{split}$$设公切线 $PQ$ 方程为 $y=kx+m$，代入抛物线方程并由 $\Delta =0$，得$$m=-\dfrac {pk^2}{2},$$所以 $PQ:y=kx-\dfrac {pk^2}{2}$，与抛物线切线方程比较可得$$\begin{cases}x_1=pk,\\y_1=\dfrac 12pk^2.\end{cases}$$将抛物线方程代入椭圆方程，并由 $\Delta=0$，得$$m^2=a^2+k^2b^2,$$即$$p^2k^4-4b^2k^2-4a^2=0.$$因为两曲线有相同焦点，所以$$ c=\dfrac p2 \Rightarrow p^2=4c^2=4(a^2-b^2),$$代入上式解得$$ k^2=\dfrac {p^2+4b^2}{p^2},$$故\[\begin{split} y_1&= \dfrac 12p\cdot \dfrac {p^2+4b^2}{p^2}=\dfrac {2a^2}{p},\\ y_2&=-\dfrac {a^2}{y_1}=-\dfrac p2,\end{split}\]所以$$y_1+y_2=\dfrac {4a^2-p^2}{2p}=\dfrac {2b^2}{p},$$代入 ② 式，得$$\begin{split}k_{FP}\cdot k_{FQ}&=\dfrac {\dfrac 14p^2-\dfrac p2\cdot \dfrac {2b^2}{p}-a^2}{2b^2}\\ &=\dfrac {a^2-b^2-b^2-a^2}{2b^2}=-1,\end{split}$$所以 $PF \perp QF$．