如图，$y = \sqrt x $ 下有一系列正三角形，求第 $n$ 个正三角形的边长．
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{2n}}{3}$
【解析】
设第 $n$ 个正三角形的上顶点坐标为 $\left( {y_n^2, {y_n}} \right)$，则左下顶点的坐标为 $\left( {y_n^2 - \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }}, 0} \right)$，右下顶点的坐标为 $\left( {y_n^2 + \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }} , 0} \right)$．
由于第 $n$ 个正三角形的右下顶点与第 $n + 1$ 个正三角形的左下顶点重合，于是$$y_n^2 + \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }} = y_{n + 1}^2 - \dfrac{{{y_{n + 1}}}}{{\sqrt 3 }},$$即$${y_{n + 1}} - {y_n} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }},$$又因为第一个正三角形的上顶点为直线 $y = \sqrt 3 x$ 与抛物线 $y = \sqrt x $ 在第一象限的交点，即 $\left( {\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$，所以$${y_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }},$$综合以上，有$${y_n} = \dfrac{n}{{\sqrt 3 }}.$$因此第 $n$ 个正三角形的边长为$$\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}{y_n} = \dfrac{{2n}}{3}.$$
由于第 $n$ 个正三角形的右下顶点与第 $n + 1$ 个正三角形的左下顶点重合，于是$$y_n^2 + \dfrac{{{y_n}}}{{\sqrt 3 }} = y_{n + 1}^2 - \dfrac{{{y_{n + 1}}}}{{\sqrt 3 }},$$即$${y_{n + 1}} - {y_n} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }},$$又因为第一个正三角形的上顶点为直线 $y = \sqrt 3 x$ 与抛物线 $y = \sqrt x $ 在第一象限的交点，即 $\left( {\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$，所以$${y_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }},$$综合以上，有$${y_n} = \dfrac{n}{{\sqrt 3 }}.$$因此第 $n$ 个正三角形的边长为$$\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}{y_n} = \dfrac{{2n}}{3}.$$
答案
解析
备注
