设函数 $f\left(x\right) = \left| x \right|x + bx + c$，给出下列 $ 4 $ 个命题：
① $b = 0$，$c > 0$ 时，方程 $f\left(x\right) = 0$ 只有一个实数根；
② $c = 0$ 时，$y = f\left(x\right)$ 是奇函数；
③ $y = f\left(x\right)$ 的图象关于点 $\left(0,c\right)$ 对称；
④ 函数 $f\left(x\right)$ 至多有 $ 2 $ 个零点．
上述命题中的所有正确命题的序号是 \((\qquad)\)
① $b = 0$，$c > 0$ 时，方程 $f\left(x\right) = 0$ 只有一个实数根；
② $c = 0$ 时，$y = f\left(x\right)$ 是奇函数；
③ $y = f\left(x\right)$ 的图象关于点 $\left(0,c\right)$ 对称；
④ 函数 $f\left(x\right)$ 至多有 $ 2 $ 个零点．
上述命题中的所有正确命题的序号是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
① 当 $ b=0 $，$ c>0 $ 时，得$$ f\left(x\right)=\begin{cases}x^2+c,&x \geqslant 0,\\-x^2+c,&x<0, \end{cases}$$故 $f(x)$ 在 $ {\mathbb{R}} $ 上为单调增函数，且值域为 $ {\mathbb{R}} $，故方程 $ f\left(x\right)=0 $，只有一个实数根，故 ① 正确．
② 当 $ c=0 $ 时，由奇偶性的定义可知函数 $ f\left(x\right)=x|x|+bx $ 为奇函数，故 ② 正确．
③ 因为$$ f\left(-x\right)=-x|x|-bx+c,$$所以$$ f\left(-x\right)+f\left(x\right)=2c ,$$可得函数 $ f\left(x\right) $ 的图象关于点 $ \left(0,c\right) $ 对称，故 ③ 正确．
④ 当 $ c=0 $，$ b=-2 $ 时，$$ f\left(x\right)=x|x|-2x,$$所以 $f(x)=0$ 的根有 $ x=0 $ 或 $ x=2 $ 或 $ x=-2 $，所以函数 $ f\left(x\right)$ 至多有两个零点错误，故 ④ 错误．
② 当 $ c=0 $ 时，由奇偶性的定义可知函数 $ f\left(x\right)=x|x|+bx $ 为奇函数，故 ② 正确．
③ 因为$$ f\left(-x\right)=-x|x|-bx+c,$$所以$$ f\left(-x\right)+f\left(x\right)=2c ,$$可得函数 $ f\left(x\right) $ 的图象关于点 $ \left(0,c\right) $ 对称，故 ③ 正确．
④ 当 $ c=0 $，$ b=-2 $ 时，$$ f\left(x\right)=x|x|-2x,$$所以 $f(x)=0$ 的根有 $ x=0 $ 或 $ x=2 $ 或 $ x=-2 $，所以函数 $ f\left(x\right)$ 至多有两个零点错误，故 ④ 错误．
题目
答案
解析
备注
