设 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ 为非零不共线向量，若 $|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}+(1-t)\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$，$(t\in\mathbb{R})$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ 为非零不共线向量，若 $|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}+(1-t)\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|, (t\in\mathbb{R})$，则 $|(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})+(1-t)(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})|\geqslant|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$，$\therefore |(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})+(1+t)(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})|^2\geqslant|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2$，化简得 $(1-t)^2(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2+2(1-t)(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\geqslant0$，即 $(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2t^2-2[(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})]t+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2+2(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\geqslant0$，$\therefore \Delta=4[(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^2]\leqslant0$，$\therefore (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0$，$\therefore (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})$．
题目
答案
解析
备注
