设实数 $\omega>0$，已知函数 $f(x)=\sin^{2}\omega x+\sqrt 3\sin\omega x\cdot \sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{2}$．求 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
最大值为 $\dfrac{3}{2}$，最小值为 $1$
【解析】
化简得\[\begin{split}f(x)&=\dfrac{1-\cos 2\omega x}{2}+\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2\omega x\\ &=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2\omega -\dfrac{1}{2}\cos 2\omega x+\dfrac{1}{2}\\&=\sin \left(2\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{1}{6},\end{split}\]由条件知$$T=\dfrac{2\pi}{2\omega }=\dfrac{\pi}{2},$$则 $\omega =2$，于是$$f(x)=\sin \left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{1}{2}.$$当 $\dfrac{\pi}{8}\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{4}$ 时，$$\dfrac{\pi}{3}\leqslant 4x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant \dfrac{5\pi}{6},$$故\[\dfrac{1}{2}\leqslant \sin\left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)\leqslant 1,\]即\[1\leqslant 4\left(4x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{3}{2}.\]所以，$f(x)$ 在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 时取最大值 $\dfrac{3}{2}$，在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 时取得最小值 $1$．
答案
解析
备注
