题目 若实数 $x_{0}$ 满足 $f(x_{0})=x_{0}$，则称 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的不动点．已知函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+3$，其中 $a,b$ 为常数． 问题1 若 $a=0$，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间； 答案1 当 $b\geqslant 0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$；<br/>当 $b<0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty,-\sqrt{-\dfrac{b}{3}}\right)$，$\left(\sqrt{\dfrac{b}{3}},+\infty\right)$ 解析1 若 $a=0$，则$$f(x)=x^{3}+bx+3,$$故$$f'(x)=3x^{2}+b.$$当 $b\geqslant 0$ 时，显然 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；<br/>当 $b<0$ 时，由 $f'(x)>0$ 知 $x>\sqrt{-\dfrac{b}{3}}$ 或 $x<-\sqrt{-\dfrac{b}{3}}$．<br/>因此，当 $b\geqslant 0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$；<br/>当 $b<0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty,-\sqrt{-\dfrac{b}{3}}\right)$，$\left(\sqrt{\dfrac{b}{3}},+\infty\right)$． 备注1 问题2 若 $a=0$ 时，存在一个实数 $x_{0}$，使得 $x=x_{0}$ 既是 $f(x)$ 的不动点，又是 $f(x)$ 的极值点．求实数 $b$ 的值； 答案2 $-3$ 解析2 由条件知\[\begin{cases}3x_{0}^{2}+b=0,\\ x_{0}^{3}+bx_{0}+3=x_{0},\end{cases}\]于是$$2x_{0}^{3}=x_{0}-3=0,$$即$$(x_{0}-1)(2x_{0}^{2}+2x_{0}+3)=0,$$解得 $x_{0}=1$，从而 $b=-3$． 备注2 问题3 求证：不存在实数 $(a,b)$，使得 $f(x)$ 互异的两个极值点皆为不动点． 答案3 略 解析3 假设存在一组实数 $(a,b)$ 满足条件．<br/>由条件知$$f'(x)=3x^{2}+2ax+b.$$因为 $f(x)$ 有两个不同的极值点，$$\Delta =4a^{2}-12b>0,$$即\[a^{3}>3b\cdots\cdots \text{ ① }\]设 $f(x)$ 的两个不同极值点为 $x_{1},x_{2}$，其中 $x_{1}<x_{2}$，则 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $3x^{2}+2ax+b=0$ 的两实根，所以$$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2a}{3},x_{1}x_{2}=\dfrac{b}{3}.$$又由 $x_{1},x_{2}$ 是 $f(x)$ 的不动点，则 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{3}+ax^{2}+(b-1)x+3=0$ 的两根，所以\[\begin{split}x_{1}^{3}+ax_{1}^{2}+(b-1)x_{1}+3&=0,\\ x_{2}^{3}+ax_{2}^{2}+(b-1)x_{2}+3&=0,\end{split}\]于是\[(x_{1}^{3}-x_{2}^{3})+a(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+(b-1)(x_{1}-x_{2})=0,\]故\[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+(b-1)=0,\]即\[\left(-\dfrac{a}{3}\right)^{2}-\dfrac{b}{3}+a\cdot \left(-\dfrac{a}{3}\right)+b-1=0,\]从而\[2a^{2}-6b+9=0\cdots\cdots\text{ ④ }\]由 ③ 知$$2a^{2}-6b+9>9,$$这与 ④ 矛盾．<br/>所以，不存在实数组 $(a,b)$，使得 $f(x)$ 互异的两个极值点皆为不动点． 备注3