已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=\ln \left(\dfrac {1-x}{1+x}\right)-ax$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调递减区间；标注答案$\left(-1,-\sqrt {\dfrac {a+2}{a}}\right)$ 和 $\left( \sqrt {\dfrac {a+2}{a}},1\right)$解析函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$．因为$$f(x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)-ax,$$所以$$f'(x)=\dfrac {-1}{1-x}-\dfrac 1{1+x}-a=\dfrac {-2}{1-x^2}-a.$$因为 $-1<x<1$，故$$\dfrac {-2}{1-x^2}<-2.$$当 $a \geqslant -2$ 时，$f'(x)<0$ 恒成立，故单调递减区间为 $(-1,1)$；
当 $a<-2$ 时，由 $f'(x)<0$ 知 $\dfrac {-2}{1-x^2}<a$，即$$x^2>\dfrac {a+2}{a} ,$$解得 $\sqrt {\dfrac {a+2}{a}}<x<1$ 或者 $-1<x<-\sqrt {\dfrac {a+2}{a}}$．
因此 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(-1,-\sqrt {\dfrac {a+2}{a}}\right)$，$\left( \sqrt {\dfrac {a+2}{a}},1\right)$． -
若 $a=-\dfrac 83$，求 $f(x)$ 的极值．标注答案$f(x)$ 的极小值 $f\left(-\dfrac 12\right)=-\dfrac 43+\ln 3$，极大值 $f\left( \dfrac 12\right)= \dfrac 43-\ln 3$解析因为$$a=-\dfrac 83<-2,$$且由 $f'(x)=0$ 知驻点为 $x=-\dfrac 12$，或 $x=\dfrac 12$．
所以当 $-1<x<-\dfrac 12$ 时，$f'(x)<0$；
当 $-\dfrac 12 <x < \dfrac 12$ 时，$f'(x)>0$；
当 $ \dfrac 12<x<1$ 时，$f'(x)<0$．
因此，$f(x)$ 有极小值$$f\left(-\dfrac 12\right)=-\dfrac 43+\ln 3,$$有极大值$$f\left( \dfrac 12\right)= \dfrac 43-\ln 3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
