已知不等式 $3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 \leqslant 31$ 对一切 $x \in \mathbb R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$[-4,4]$
【解析】
设$$\begin{split}f(x)&=3\sin ^2x-\cos ^2x+4a\cos x+a^2 - 31\\ &=-4\cos ^2x +4a\cos x +a^2-28.\end{split}$$令 $t=\cos x$，则 $t \in [-1,1]$，此时$$g(t)=-4t^2+4at+a^2-28 \leqslant 0$$恒成立，二次函数 $g(t)$ 的对称轴 $t=\dfrac a2$．
① 当 $\dfrac a2<-1$，即 $a<-2$ 时，$g(t)$ 在 $t \in [-1,1]$ 上单调递减，故有 $g(t)$ 的最大值$$g(-1)=a^2-4a-32 \leqslant 0,$$解得 $-4 \leqslant a <-2$．
② 当 $-1 \leqslant \dfrac a2 \leqslant 1$，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时，有 $g(t)$ 的最大值$$g\left(\dfrac a2\right)=2a^2-28 \leqslant 0,$$解得 $-2 \leqslant a \leqslant 2$．
③ 当 $\dfrac a2>1$，即 $a>2$ 时，$g(t)$ 在 $t \in [-1,1]$ 上单调递增，故有 $g(t)$ 的最大值$$g(1)=a^2+4a-32 \leqslant 0,$$解得 $2<a \leqslant 4$．
综上可知，所求 $a$ 的取值范围是 $[-4,4]$．
① 当 $\dfrac a2<-1$，即 $a<-2$ 时，$g(t)$ 在 $t \in [-1,1]$ 上单调递减，故有 $g(t)$ 的最大值$$g(-1)=a^2-4a-32 \leqslant 0,$$解得 $-4 \leqslant a <-2$．
② 当 $-1 \leqslant \dfrac a2 \leqslant 1$，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时，有 $g(t)$ 的最大值$$g\left(\dfrac a2\right)=2a^2-28 \leqslant 0,$$解得 $-2 \leqslant a \leqslant 2$．
③ 当 $\dfrac a2>1$，即 $a>2$ 时，$g(t)$ 在 $t \in [-1,1]$ 上单调递增，故有 $g(t)$ 的最大值$$g(1)=a^2+4a-32 \leqslant 0,$$解得 $2<a \leqslant 4$．
综上可知，所求 $a$ 的取值范围是 $[-4,4]$．
答案
解析
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