题目 设集合 $W$ 由满足下列两个条件的数列 $\{a_{n}\}$ 构成：<br/>① $\dfrac{a_{n}+a_{n+2}}{2}<a_{n+1}$；<br/>② 存在实数 $M$，使 $|a_{n}|\leqslant M$．（$n$ 为正整数） 问题1 在只有 $5$ 项的有限数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 中，其中 $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{3}=3$，$a_{4}=4$，$a_{5}=5$；$b_{1}=1$，$b_{2}=4$，$b_{3}=5$，$b_{4}=4$，$b_{5}=1$；试判断数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 是否为集合 $W$ 的元素； 答案1 $\{a_{n}\}$ 是，$\{b_{n}\}$ 不是 解析1 略 备注1 问题2 设 $\{c_{n}\}$ 是各项为正的等比数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，$c_{3}=\dfrac{1}{4}$，$S_{3}=\dfrac{7}{4}$，证明数列 $\{S_{n}\}\in W$；并写出 $M$ 的取值范围； 答案2 $[2,+\infty)$ 解析2 设 $\{c_n\}$ 的首项为 $c_1$，公比为 $q$．根据题意，可得$$\begin{cases}c_1\cdot q^2=\dfrac 14,\\c_1\cdot (1+q+q^2)=\dfrac 74,\end{cases}$$解得$$c_1=1,q=\dfrac 12,$$因此 $\{c_n\}$ 的通项公式为 $c_n=\dfrac{1}{2^n}$，所以$$S_n=2-\dfrac {1}{2^{n-1}}.$$因为$$ S_n+S_{n+2}-2S_{n+1}=-\dfrac {1}{2^{n+2}}<0,$$且对任意的 $ M\in [2,+\infty)$，满足$$S_n\leqslant M.$$因此 $ \{S_{n}\}\in W$，$ M\in [2,+\infty)$． 备注2 问题3 设数列 $\{d_{n}\}\in W$，且对满足条件的 $M$ 的最小值 $M_{0}$，都有 $d_{n}\ne M_{n}(n\in\mathbb N^{*})$，求证：数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增． 答案3 略 解析3 因为 $\{d_{n}\}\in W$，所以$$d_{n+1}-d_n>d_{n+2}-d_{n+1},$$因此$$d_2-d_1>d_3-d_2>\cdots >d_{n+1}-d_n.$$如果数列 $\{d_n\}$ 不是单调递增的，则存在正整数 $N$，使得$$0>d_{N+1}-d_N>\cdots>d_{n+1}-d_n,$$此时$$d_n<(n-N-1)(d_{N+1}-d_N)+d_N,$$当 $n\rightarrow +\infty$ 时，$d_n\rightarrow -\infty$，与 ② 矛盾．<br/>因此 $\{d_n\}$ 是单调递增的． 备注3