在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，则 $\dfrac{{AC}}{{AB}}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $\tan A = k$，$\tan B = 2k$，$\tan C = 3k$，$k > 0$．
因为$$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C.$$所以$$6k = 6{k^3},$$解得 $k = 1$．
因此$$\tan B = 2,\tan C = 3,$$所以$$\sin B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},\sin C = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}.$$于是$$\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{\sin B}}{{\sin C}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{3}{{\sqrt {10} }}}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.$$
因为$$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C.$$所以$$6k = 6{k^3},$$解得 $k = 1$．
因此$$\tan B = 2,\tan C = 3,$$所以$$\sin B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},\sin C = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}.$$于是$$\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{\sin B}}{{\sin C}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{3}{{\sqrt {10} }}}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
