题目 如果双曲线的两个焦点坐标分别为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(2,0)$，双曲线的一条切线交 $x$ 轴于 $Q\left(\dfrac12,0\right)$，且斜率为 $2$． 问题1 求双曲线的方程； 答案1 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 解析1 设双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$．<br/>因为双曲线与直线 $y=2\left(x-\dfrac12\right)$，即 $y=2x-1$ 相切，所以方程组$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\y=2x-1,\end{cases}$$只有唯一一组解，这样关于 $x$ 的方程$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(2x-1)^2}{b^2}=1,$$有两个相等的实根，其判别式等于零，所以有$$\left(\dfrac{4}{b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{4}{b^2}\right)\left(-\dfrac{1}{b^2}-1\right)=0,$$整理得$$b^2-4a^2+1=0.$$注意双曲线的两个焦点坐标分别为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$，所以 $c=2$，这样$$a^2+b^2=4,$$与前述方程联立解得 $a^2=1,b^2=3$，因此双曲线的方程为$$x^2-\dfrac{y^2}{3}=1.$$ 备注1 问题2 设该切线与双曲线的切点为 $P$，求证：$\angle F_1PQ=\angle F_2PQ$． 答案2 略 解析2 由于 $a^2=1,b^2=3$，前述关于 $x$ 的方程为$$x^2-\dfrac{(2x-1)^2}{3}=1,$$从中解得 $x=2$，代入 $y=2x-1$ 得 $y=3$．这表明切点 $P$ 的坐标为 $(2,3)$．<br/>因此 $F_1P$ 的斜率为 $k=\dfrac34$，可见$$\tan\angle F_1PQ=\dfrac{t-k}{1+kt}=\dfrac12,$$其中 $t=2$ 是切线 $PQ$ 的斜率．<br/>注意 $F_2$ 与 $P$ 的横坐标相同，所以 $F_2P$ 平行于 $y$ 轴，$$\tan\angle F_2PQ=\dfrac1t=\dfrac12,$$所以$$\tan\angle F_1PQ=\tan F_2PQ,$$故 $\angle F_1PQ=\angle F_2PQ$． 备注2