电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 $1$ 或 $2$．将输出的前 $n$ 个数字之和被 $3$ 整除的概率记为 $P_n$．证明：
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
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$P_{n+1}=\dfrac12(1-P_n)$；标注答案略解析这 $n$ 个数字共有 $2^n$ 种可能情形．
设前 $n$ 个数字和被 $3$ 整除的有 $x_n$ 种，则不被 $3$ 整除的有 $2^n-x_n$ 种．
对于 $n+1$ 个数字的情形，如果其和被 $3$ 整除，则前 $n$ 个数字之和不被 $3$ 整除；
反之，对于前 $n$ 个数字之和不被 $3$ 整除的每种情形，有唯一的第 $n+1$ 个数字可使前 $n+1$ 个数字之和被 $3$ 整除．
因此，我们有$$x_{n+1}=2^n-x_n,$$这表明，概率 $P_n=\dfrac{x_n}{2^n}$ 满足递推关系式$$P_{n+1}=\dfrac12(1-P_n).$$ -
$P_{2012}>\dfrac13$．标注答案略解析注意上式也可写作$$P_{n+1}-\dfrac13=\left(-\dfrac12\right)\left(P_n-\dfrac13\right),$$这表明数列 $\left\{P_n-\dfrac13\right\}$ 是公比为 $-\dfrac12$ 的等比数列，且首项为$$P_1-\dfrac13=-\dfrac13<0,$$故$$P_{2012}-\dfrac13=\left(-\dfrac12\right)^{2011}\left(P_1-\dfrac13\right)>0,$$即 $P_{2012}>\dfrac13$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
