三次函数 $f(x)=4x^3+ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c\in\mathbb R$，满足：当 $-1\leqslant x\leqslant1$ 时，$-1\leqslant f(x)\leqslant 1$，求 $a,b,c$ 的所有可能取值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$a=0,b=-3,c=0$
【解析】
由题意，当 $x=\pm1,\pm\dfrac12$ 时，均有$$-1\leqslant f(x)\leqslant 1,$$所以\[\begin{split}&-1\leqslant4+a+b+c\leqslant1,-1\leqslant4-a+b-c\leqslant1,\\&-1\leqslant\dfrac12+\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\leqslant1,-1\leqslant\dfrac12-\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}-c\leqslant1.\end{split}\]前两式相加，得$$-2\leqslant8+2b\leqslant2,$$从而 $b\leqslant-3$．
后两式相加，得$$-2\leqslant1+b\leqslant2,$$从而 $b\geqslant-3$．因此 $b=-3$，代入前述不等式，可得$$a+c=0,\dfrac{a}{4}+c=0,$$从而 $a=c=0$．
下面证明 $f(x)=4x^3-3x$ 满足题中所说的条件．
事实上，若 $-1\leqslant x\leqslant1$，则可令 $x=\cos t,t\in\mathbb R$，这时$$f(x)=f(\cos t)=4\cos^3t-3\cos t=\cos 3t.$$由于 $-1\leqslant\cos 3t\leqslant1$，所以$$-1\leqslant f(x)\leqslant 1.$$综上，$a=0,b=-3,c=0$．
后两式相加，得$$-2\leqslant1+b\leqslant2,$$从而 $b\geqslant-3$．因此 $b=-3$，代入前述不等式，可得$$a+c=0,\dfrac{a}{4}+c=0,$$从而 $a=c=0$．
下面证明 $f(x)=4x^3-3x$ 满足题中所说的条件．
事实上，若 $-1\leqslant x\leqslant1$，则可令 $x=\cos t,t\in\mathbb R$，这时$$f(x)=f(\cos t)=4\cos^3t-3\cos t=\cos 3t.$$由于 $-1\leqslant\cos 3t\leqslant1$，所以$$-1\leqslant f(x)\leqslant 1.$$综上，$a=0,b=-3,c=0$．
答案
解析
备注
