如图，$A$ 是两条平行直线 $l_1$，$l_2$ 之间的一个定点，且点 $A$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $AM=1$，$AN=\sqrt 3$．设 $\triangle ABC$ 的另两个顶点 $B$，$C$ 分别在 $l_1$，$l_2$ 上运动，且满足 $AB<AC$，$\dfrac {AB}{\cos B}=\dfrac {AC}{\cos C}$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并证明你的结论；标注答案直角三角形解析由 $\dfrac {AB}{\cos B}=\dfrac {AC}{\cos C}$ 及正弦定理，得$$\dfrac {\sin C}{\cos B}=\dfrac {\sin B}{\cos C},$$即$$\sin 2B=\sin 2C.$$因为 $AB<AC$，所以$$\angle C <\angle B, $$故 $2B+2C=\pi$，即$$B+C=\dfrac {\pi}{2},$$因此 $\triangle ABC$ 为直角三角形，且 $\angle A=\dfrac {\pi}{2}$．
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求 $\dfrac {1}{AB}+\dfrac {\sqrt 3}{AC}$ 的最大值．标注答案$\sqrt 2$解析设 $\angle BAM=\theta \left(0<\theta<\dfrac {\pi}{3}\right)$，则$$\angle CAN=\dfrac {\pi}{2}-\theta.$$在 $\mathrm {Rt} \triangle AMB$ 中，$AB=\dfrac {1}{\cos \theta}$；在 $\mathrm {Rt} \triangle ANC$ 中，$AC=\dfrac {\sqrt 3}{\sin \theta}$，所以$$\dfrac {1}{AB}+\dfrac {\sqrt 3}{AC}=\cos\theta+\sin \theta=\sqrt 2\sin \left(\theta+\dfrac {\pi}{4}\right),$$故当 $\theta=\dfrac {\pi}{4}$ 时，$\dfrac {1}{AB}+\dfrac {\sqrt 3}{AC}$ 取得最大值为 $\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
