如图，已知圆 $O:x^2+y^2=1$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，$M$ 是圆 $O$ 上任一点（除去圆 $O$ 与两坐标轴的交点）．直线 $AM$ 与 $BC$ 交于点 $P$，直线 $CM$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设直线 $PM$，$PN$ 的斜率分别为 $m$，$n$，求证：$m-2n$ 为定值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
直线 $AM$ 的方程为$$y=m(x+1),$$其中 $m \neq 0,\pm 1$．
将 $AM$ 的直线方程与 $x^2+y^2=1$ 联立，求得点 $M$ 的坐标为$$\left(\dfrac {1-m^2}{1+m^2},\dfrac {2m}{1+m^2}\right).$$由 $C(0,1)$，$M\left(\dfrac {1-m^2}{1+m^2},\dfrac {2m}{1+m^2}\right)$，$N(x,0)$ 三点共线，得$$\dfrac {0-1}{x-0}=\dfrac {\dfrac {2m}{1+m^2}-1}{\dfrac {1-m^2}{1+m^2}-0},$$解得 $N\left(\dfrac {1+m}{1-m},0\right)$．
直线 $BC$ 的方程为 $x+y=1$，与 $y=m(x+1)$ 联立，求得$$P\left(\dfrac {1-m}{1+m}, \dfrac {2m}{1+m}\right),$$所以\[\begin{split}n&=k_{PN}=\dfrac {\dfrac {2m}{1+m}-0}{\dfrac {1-m}{1+m}-\dfrac {1+m}{1-m}}\\&=\dfrac {m-1}{2}.\end{split}\]故$$m-2n=1,$$所以 $m-2n$ 为定值．
将 $AM$ 的直线方程与 $x^2+y^2=1$ 联立，求得点 $M$ 的坐标为$$\left(\dfrac {1-m^2}{1+m^2},\dfrac {2m}{1+m^2}\right).$$由 $C(0,1)$，$M\left(\dfrac {1-m^2}{1+m^2},\dfrac {2m}{1+m^2}\right)$，$N(x,0)$ 三点共线，得$$\dfrac {0-1}{x-0}=\dfrac {\dfrac {2m}{1+m^2}-1}{\dfrac {1-m^2}{1+m^2}-0},$$解得 $N\left(\dfrac {1+m}{1-m},0\right)$．
直线 $BC$ 的方程为 $x+y=1$，与 $y=m(x+1)$ 联立，求得$$P\left(\dfrac {1-m}{1+m}, \dfrac {2m}{1+m}\right),$$所以\[\begin{split}n&=k_{PN}=\dfrac {\dfrac {2m}{1+m}-0}{\dfrac {1-m}{1+m}-\dfrac {1+m}{1-m}}\\&=\dfrac {m-1}{2}.\end{split}\]故$$m-2n=1,$$所以 $m-2n$ 为定值．
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