已知在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$\triangle ABC$ 的外接圆半径 $R=\sqrt3$，且满足 $\tan B+\tan C=\dfrac{2\sin A}{\cos C}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
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求角 $B$ 和边 $b$ 的大小；标注答案$B=\dfrac {\pi}{3}$，$b=3$解析由已知得$$\dfrac{\sin B}{\cos B}+\dfrac{\sin C}{\cos C}=\dfrac{2\sin A}{\cos C},$$即$$\sin B\cos C+\sin C\cos B=2\sin A\cos B,$$所以$$\sin(B+C)=2\sin A\cos B.$$因为 $A+B+C=180^\circ$，所以$$\sin(B+C)=\sin A,$$又 $\sin A\ne0$，所以$$\cos B=\dfrac12.$$因为 $0<B<\pi$，所以 $B=\dfrac{\pi}{3}$．
因为 $R=\sqrt3$，所以$$b=2R\sin B=3.$$ -
求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac94\sqrt3$解析由余弦定理知$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$所以$$9=a^2+c^2-2ac\cos\dfrac{\pi}{3}=a^2+c^2-ac\geqslant ac,$$当且仅当 $a=c=3$ 时，等号成立．
因此$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12ac\sin B\leqslant\dfrac12\cdot 9\cdot\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac94\sqrt3,$$当 $a=c=3$ 时等号成立．
故三角形 $ABC$ 的面积最大为 $\dfrac94\sqrt3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
