设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_2=3$，$2S_n=n+na_n$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=n$解析因为$$2S_n=n+na_n,$$所以当 $n=1$ 时，由$$2S_1=1+a_1,$$得 $a_1=1$．
当 $n\geqslant2$ 时，由$$\begin{split}2S_n&=n+na_n,\\2S_{n-1}&=n-1+(n-1)a_{n-1},\end{split}$$两式相减得$$2a_n=1+na_n-(n-1)a_{n-1}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$所以$$2a_{n+1}=1+(n+1)a_{n+1}-na_n\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$$\text{ ② }-\text{ ① }$ 得$$(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_{n-1}=2(n-1)a_n,$$即当 $n\geqslant2$ 时，$$a_{n+1}+a_{n-1}=2a_n.$$由$$S_2=3,a_1=1,$$解得 $a_2=2$．
所以数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列．
因此 $a_n=n$． -
求数列 $c_n=\begin{cases}a_{n+1},&n=2k-1,\\3\cdot2^{a_{n-1}}+1,&n=2k\end{cases}$（其中 $k\in\mathbb N^*$）的前 $2n$ 项和 $T_{2n}$．标注答案$2^{2n+1}+n^2+2n-2$解析由题意得\[\begin{split}T_{2n}&=(a_2+a_4+\cdots+a_{2n})+3(2^1+2^3+\cdots+2^{2n-1})+n\\&=n(n+1)+2^{2n+1}-2+n\\&=2^{2n+1}+n^2+2n-2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
