已知二次函数 $f(x)$ 的二次项系数为 $a$，且不等式 $f(x)>-2x$ 的解集为 $(1,3)$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
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若函数 $y=f(x)+6a$ 有且只有一个零点，求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)=-\dfrac15x^2-\dfrac65x-\dfrac35$解析因为 $f(x)+2x>0$ 的解集为 $(1,3)$，所以$$f(x)+2x=a(x-1)(x-3),a<0,$$整理得$$f(x)=ax^2-(2+4a)x+3a.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$因为函数 $y=f(x)+6a$ 有且仅有一个零点，即方程$$ax^2-(2+4a)x+9a=0$$有两个相等的实数根，所以$$\Delta=[-(2+4a)]^2-4a\cdot9a=0,$$即$$5a^2-4a-1=0,$$解得 $a=1$ 或 $a=-\dfrac15$．
由于 $a<0$，舍去 $a=1$．
将 $a=-\dfrac15$ 代入 $\text{ ① }$ 得 $f(x)$ 的解析式$$f(x)=-\dfrac15x^2-\dfrac65x-\dfrac35,$$ -
记 $f(x)$ 的最大值为 $h(a)$，求 $h(a)$ 的最小值．标注答案$-2$解析因为$$f(x)=ax^2-2(1+2a)x+3a,$$且 $a<0$，所以 $f(x)$ 的最大值$$h(a)=-\dfrac{a^2+4a+1}{a}=-a+\dfrac{1}{-a}-4.$$因为 $a<0$，即 $-a>0$，所以$$h(a)=-a+\dfrac{1}{-a}-4\geqslant-2,$$当且仅当 $a=-1$ 时取等号．
故 $h(a)$ 的最小值为 $-2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
