如图，在平面直角坐标系中，方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆 $M$ 的内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相垂直，且 $AC$ 和 $BD$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
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求证：$F<0$；标注答案略解析由题意，不难发现 $A,C$ 两点分别在 $x$ 轴的负半轴和正半轴上．
设 $A$，$B$ 两点坐标分别为 $A(a,0),C(c,0)$，则$$ac<0.$$对于圆$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,$$当 $y=0$ 时，可得$$x^2+Dx+F=0,$$其中方程的两根分别为 点 $A$ 和点 $C$ 的横坐标，于是有$$x_Ax_C=ac=F.$$因为 $ac<0$，故 $F<0$． -
若四边形 $ABCD$ 的面积为 $8$，对角线 $AC$ 的长为 $2$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$，求 $D^2+E^2-4F$ 的值．标注答案$64$解析对角线互相垂直的四边形 $ABCD$ 的面积$$S=\dfrac{|AC|\cdot|BD|}{2},$$因为$$S=8,|AC|=2,$$所以 $|BD|=8$．
又因为$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0,$$所以 $\angle A$ 为直角，于是$$|BD|=2r=8,$$故 $r=4$．
对于方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 所表示的圆，可知$$\dfrac{D^2}{4}+\dfrac{E^2}{4}-F=r^2,$$所以$$D^2+E^2-4F=4r^2=64.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
