题目 已知正实数 $x,y$，设 $a=x+y$，$b=\sqrt{x^2+7xy+y^2}$． 问题1 当 $y=1$ 时，求 $\dfrac{b}{a}$ 的取值范围； 答案1 $\left(1,\dfrac32\right]$ 解析1 因为$$\begin{split}\dfrac{b}{a}&=\dfrac{\sqrt{x^2+7x+1}}{x+1}\\ &=\sqrt{1+\dfrac{5x}{x^2+2x+1}}\\ &=\sqrt{1+\dfrac{5}{x+2+\frac1x}},\end{split}$$因为$$x+2+\dfrac1x\geqslant4,$$所以$$1<\dfrac{b}{a}\leqslant\dfrac32,$$因此 $\dfrac{b}{a}$ 的取值范围为 $\left(1,\dfrac32\right]$． 备注1 问题2 若 $c^2=k\cdot xy$，且对于任意的正数 $x,y$，以 $a,b,c$ 为长度的线段恒能构成三角形，求 $k$ 的取值范围． 答案2 $(1,25)$ 解析2 因为 $c^2=k\cdot xy$，所以$$c=\sqrt{k\cdot xy}.$$因为$$\begin{cases}c<x+y+\sqrt{x^2+7xy+y^2},\\c>\sqrt{x^2+7xy+y^2}-(x+y),\end{cases}$$整理得$$\begin{cases}\sqrt{k}<\sqrt{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2}+\sqrt{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+7},\\ \sqrt{k}>\sqrt{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+7}-\sqrt{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2},\end{cases}$$恒成立．<br/>令 $\dfrac{x}{y}=t$，则 $t\in(0,+\infty)$．<br/>因为 $t+\dfrac1t$ 在 $t\in[1,+\infty)$ 上是增函数，素养$$f(t)=\sqrt{t+\dfrac1t+7}+\sqrt{t+\dfrac1t+2}$$在 $[1,+\infty)$ 上是增函数，故$$f(t)=\sqrt{t+\dfrac1t+7}+\sqrt{t+\dfrac1t+2}\geqslant5.$$又因为$$\sqrt{t+\dfrac1t+7}-\sqrt{t+\dfrac1t+2}=\dfrac{5}{\sqrt{t+\frac1t+7}+\sqrt{t+\frac1t+2}}\leqslant1,$$所以$$1<\sqrt{k}<5,$$故 $k$ 的取值范围为 $(1,25)$． 备注2