在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，$b=1$，且 $\cos C+(2a+c)\cos B=0$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
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求 $B$；标注答案$\dfrac{\pi}{3}$解析由已知得$$b\cos C+(2a+c)\cos B=0,$$故$$\sin B \cos C+(2\sin A+\sin C)\cos B=0,$$即\[\sin(B+C)+2\sin A \cos B=0.\]又 $\sin(B+C)=\sin A$，从而\[\sin A+2\sin A \cos B=0.\]考虑到 $\sin A>0$，故 $\cos B=-\dfrac 1 2$．
又 $B$ 为三角形的内角，故 $B=\dfrac 2 3{\rm \pi}$． -
求 $\triangle ABC$ 的面积的最大值．标注答案$\dfrac{\sqrt 3}{12}$解析将 $b=1,B=\dfrac 2 3{\rm \pi}$ 代入\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\]得\[1=a^2+c^2+ac.\]由 $a^2+c^2\geqslant 2ac$，得 $1\geqslant3ac$，即 $ac \leqslant \dfrac 1 3$，从而\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 1 2 ac\sin B\leqslant \dfrac 1 2\times \dfrac 1 3 \times \sin \dfrac{2{\rm \pi}}{3}=\dfrac{\sqrt 3}{12},\]当 $B=\dfrac 2 3{\rm \pi},A=C=\dfrac {\rm \pi}{6}$ 时取到最大值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
