在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-n+2$，$n \in \mathbb N^*$．求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$ S_n=2^n-1+\dfrac {n(n-1)}{2} $
【解析】
由 $a_{n+1}=2a_n-n+2$ 得$$a_{n+1}-n=2(a_{n}-(n-1)), n \in \mathbb N^*,$$所以数列 $\{a_n-(n-1)\}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，故$$a_n=2^{n-1}+n-1.$$因此数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和$$S_n=2^n-1+\dfrac {n(n-1)}{2}.$$
答案
解析
备注
