已知 $\triangle ABC$ 的角 $A$，$B$，$C$ 的对边依次是 $a$，$b$，$c$，若满足$$\sqrt 3 \tan A \cdot \tan B-\tan A-\tan B=\sqrt 3.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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求 $\angle C$ 大小；标注答案$\dfrac {\pi}{3}$解析因为$$\sqrt 3 \tan A \cdot \tan B-\tan A-\tan B=\sqrt 3,$$所以$$ \tan A+\tan B=\sqrt 3(\tan A \cdot \tan B-1),$$即$$ \tan (A+B)=-\sqrt 3,$$故 $\tan C=\sqrt 3$，从而 $\angle C=\dfrac {\pi}{3}$．
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若 $c=2$，且 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，求 $a^2+b^2$ 取值范围．标注答案$ \left (\dfrac {20}{3}, 8\right ] $解析因为$$\begin{cases}A <\dfrac {\pi}{2},\\ B<\dfrac {\pi}{2},\\ A+B =\dfrac {2\pi}{3},\end{cases}$$所以 $\dfrac {\pi}{6}<A<\dfrac {\pi}{2}$．
根据正弦定理$$\dfrac {a}{\sin A}=\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C},$$得$$\begin{split}a^2+b^2&=\dfrac {16}{3} \left[\sin ^2A+\sin ^2\left(\dfrac {2\pi}{3}-A \right) \right]\\ &=\dfrac {16}{3}+\dfrac 83\sin \left(2A-\dfrac {\pi}{6}\right).\end{split}$$因为 $\dfrac {\pi}{6}<A<\dfrac {\pi}{2}$，所以$$\dfrac {\pi}{6}<2A-\dfrac {\pi}{6}<\dfrac {5\pi}{6},$$故$$\dfrac 12<\sin \left(2A-\dfrac {\pi}{6}\right) \leqslant 1,$$即$$\dfrac {20}{3}<a^2+b^2 \leqslant 8.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
