$x^2-\dfrac {y^2}{3}=1$

由双曲线的离心率为 $2$ 知，$c=2a$，$b=\sqrt 3a$，双曲线为 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{3a^2}=1$．又直线 $l$ 方程为 $y=x+m$．由$$\begin{cases}\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{3a^2}=1,\\y=x+m,\end{cases}$$得$$2x^2-2mx-m^2-3a^2=0.\quad \cdots \cdots \text{ ① }$$设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=m,\quad x_1x_2=\dfrac {-m^2-3a^2}{2}.$$因为 $\overrightarrow {AP}=3\overrightarrow {PB}$，所以$$(-x_1,m-y_1)=3(x_2,y_2-m),$$得 $x_1=-3x_2$，结合 $x_1+x_2=m$，解得 $x_1=\dfrac 32m$，$x_2=-\dfrac 12m$．代入 $x_1x_2=\dfrac {-m^2-3a^2}{2}$，得$$-\dfrac 34m^2= \dfrac {-m^2-3a^2}{2},$$化简得$$m^2=6a^2.$$又因为\[\begin{split}\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}&=x_1x_2+y_1y_2\\&=x_1x_2+(x_1+m)(x_2+m)\\&=2x_1x_2+m(x_1+x_2)+m^2\\&=m^2-3a^2\\&=3a^2=3,\end{split}\]所以，$a^2=1$．此时，$m=\sqrt 6$，代入 ①，整理得$$2x^2-2\sqrt 6x-9=0,$$显然该方程有两个不同的实根．因此，$a^2=1$ 符合要求．
故，双曲线 $C$ 的方程为 $x^2-\dfrac {y^2}{3}=1$．

满足条件的点 $M$ 存在，其坐标为 $(-1,0)$

假设点 $M$ 存在，设 $M(t,0)$．由（1）知，双曲线右焦点为 $F(2,0)$．设 $Q(x_0,y_0)$（$x_0 \geqslant 1$）为双曲线 $C$ 右支上一点．
当 $x_0 \neq 2$ 时，\[\begin{split} \tan \angle QFM&=-k_{QF}=-\dfrac {y_0}{x_0-2},\\ \tan \angle QMF&=k_{QM}=\dfrac {y_0}{x_0-t}.\end{split}\]因为 $\angle QFM=2\angle QMF$，所以$$-\dfrac {y_0}{x_0-2}=\dfrac {2\times\dfrac {y_0}{x_0-t} }{1-\left(\dfrac {y_0}{x_0-t}\right)^2}.$$将 $y_0^2=3x_0^2-3$ 代入，并整理得$$-2x_0^2+(4+2t)x_0-4t=-2x_0^2-2tx_0+t^2+3.$$所以$$\begin{cases}4+2t=-2t,\\ -4t=t^2+3,\end{cases}$$解得 $t=-1$．
当 $x_0 =2$ 时，$ \angle QFM=90^{\circ}$，而 $t=-1$ 时，$ \angle QMF=45^{\circ}$，符合 $\angle QFM=2\angle QMF$．
因此，$t=-1$ 符合要求．满足条件的点 $M$ 存在，其坐标为 $(-1,0)$．