已知函数$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {ax}{x+1}(a \in \mathbb R).$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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当 $a=2$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的图象在 $x=0$ 处的切线方程；标注答案$y=3x$解析当 $a=2$ 时，$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {2x}{x+1},$$所以$$f'(x)=\dfrac {1}{x+1}+\dfrac {2}{(x+1)^2}=\dfrac {x+3}{(x+1)^2},$$于是 $f'(0)=3$，所以所求的切线的斜率为 $3$．
又因为 $f(0)=0$，所以切点为 $(0,0)$．
故所求的切线方程为 $y=3x$． -
判断函数 $f(x)$ 的单调性；标注答案当 $a \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,-1-a)$ 单调递减，在 $(-1-a,+\infty)$ 单调递增解析因为$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {ax}{x+1}(x>-1),$$所以$$f'(x)=\dfrac {1}{x+1}+\dfrac {a(x+1)-ax}{(x+1)^2}=\dfrac {x+1+a}{(x+1)^2}.$$
情形一 当 $a \geqslant 0$ 时，因为 $x>-1$，所以 $f'(x)>0$．情形二 当 $a<0$ 时，由 $f'(x)<0$，得$$-1<x<-1-a.$$由 $f'(x)>0$，得$$x>-1-a.$$综上，当 $a \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,-1-a)$ 单调递减，在 $(-1-a,+\infty)$ 单调递增． -
求证：$$\ln \left(1+\dfrac 1n \right)>\dfrac 1n -\dfrac {1}{n^2}(n \in \mathbb N^*).$$标注答案略解析构造函数$$F(x)=\ln (1+x)-x-x^2,(0 \leqslant x \leqslant 1)$$所以$$F'(x)=\dfrac {1}{x+1}-1+2x=\dfrac {x(2x+1)}{x+1},$$而当 $0<x\leqslant 1$ 时，$F'(x)>0$，函数 $F(x)$ 在 $(0,1]$ 单调递增，
所以$$F(x)>F(0)=0,$$即$$\forall x \in (0,1], \ln (x+1)>x-x^2.$$令 $x=\dfrac 1n$（$n \in \mathbb N^*$），则$$\ln \left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac 1n-\dfrac {1}{n^2} .$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
