已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$2^n\cdot (a_{n+1}-a_n)=a_n$，求证：$n\geqslant 3$ 时，$2-\dfrac 1{2^{n-1}}<a_n<\left(\dfrac 32\right)^{n-1}$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
用数学归纳法易证 $a_n>0$．
由已知得$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{a_n}{2^n}>0,$$故$$a_n\geqslant a_1=1,$$所以$$a_{n+1}-a_n\geqslant \dfrac 1{2^{n}},$$仅当 $n=1$ 时等号成立，所以当 $n\geqslant 3$ 时，\[\begin{split}a_n&=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\&>1+\dfrac 12 +\dfrac 1{2^2}+\cdots +\dfrac 1{2^{n-1}}\\&=2-\dfrac 1{2^{n-1}}.\end{split}\]又由已知得$$a_{n+1}=\left(\dfrac{2^n+1}{2^n}\right)a_n\leqslant \dfrac 32 a_n,$$仅当 $n=1$ 时等号成立，所以$$a_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cdots \cdot \dfrac{a_2}{a_1}\cdot a_1<\left(\dfrac 32\right)^{n-1}.$$综上知，题设不等式成立．
由已知得$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{a_n}{2^n}>0,$$故$$a_n\geqslant a_1=1,$$所以$$a_{n+1}-a_n\geqslant \dfrac 1{2^{n}},$$仅当 $n=1$ 时等号成立，所以当 $n\geqslant 3$ 时，\[\begin{split}a_n&=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\&>1+\dfrac 12 +\dfrac 1{2^2}+\cdots +\dfrac 1{2^{n-1}}\\&=2-\dfrac 1{2^{n-1}}.\end{split}\]又由已知得$$a_{n+1}=\left(\dfrac{2^n+1}{2^n}\right)a_n\leqslant \dfrac 32 a_n,$$仅当 $n=1$ 时等号成立，所以$$a_n=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \cdots \cdot \dfrac{a_2}{a_1}\cdot a_1<\left(\dfrac 32\right)^{n-1}.$$综上知，题设不等式成立．
答案
解析
备注
