在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，且 $a\cos C=(2b-c)\cos A$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求角 $A$ 的大小；标注答案$\dfrac {\pi}{3}$解析由正弦定理：$$\sin A\cos C=2\sin B\cos A-\sin C \cos A,$$所以$$\sin (A+C)=2\sin B \cos A,$$故$$\sin B=2\sin B \cos A.$$又 $\sin B \neq 0$，所以$$\cos A =\dfrac 12,$$而 $0<A<\pi$，故 $A=\dfrac {\pi}{3}$．
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已知 $a=\sqrt 3$，$D$ 点为边 $BC$ 的中点，试求 $AD$ 的取值范围．标注答案$ \left(\dfrac {\sqrt 3}{2},\dfrac 32\right] $解析由正弦定理得$$\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}=2,$$所以$$b=2\sin B.$$由余弦定理得\[\begin{split}AD^2&= b^2+\left(\dfrac a2\right)^2-2\cdot \dfrac a2 b \cos C \\&=4\sin ^2B +\dfrac 34-2\sqrt 3\sin B\cos C \\ &=4\sin ^2B +\dfrac 34-2\sqrt 3\sin B\cos\left(\dfrac {2\pi}{3}-B\right)\\&= \sin ^2 B+\sqrt 3 \sin B\cos B+\dfrac 34\\&=\dfrac {\sqrt 3}{2}\sin 2B-\dfrac 12 \cos 2B +\dfrac 54\\ &=\sin \left(2B-\dfrac {\pi}{6}\right)+\dfrac 54.\end{split}\]因为 $B \in \left(0,\dfrac {2\pi}{3}\right)$，所以$$2B-\dfrac {\pi}{6} \in \left(-\dfrac {\pi}{6},\dfrac {7\pi}{6}\right).$$故$$\sin \left(2B-\dfrac {\pi}{6}\right)\in \left[-\dfrac 12,1\right],$$所以 $AD$ 的取值范围是 $ \left(\dfrac {\sqrt 3}{2},\dfrac 32\right] $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
