题目 在某批次的某种灯泡中，随机地抽取 $200$ 个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于 $500$ 天的灯泡是优等品，寿命小于 $300$ 天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{寿命(天)}&\text{ 频数}&\text{频率}\\ \hline [100,200)&20&0.10<br/>\\ \hline [200,300)&30&a<br/>\\ \hline [300,400)&70&0.35<br/>\\ \hline [400,500)&b&0.15<br/>\\ \hline [500,600)&50&0.25<br/>\\ \hline \text{合计}&200&1<br/>\\ \hline \end{array}$$ 问题1 根据频率分布表中的数据，写出 $a$，$b$ 的值； 答案1 $a=0.15$，$b=30$ 解析1 略 备注1 问题2 某人从灯泡样品中随机地购买了 $n (n\in \mathbb N^*)$ 个，如果这 $n$ 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求 $n$ 的最小值； 答案2 $4$ 解析2 由表可知：灯泡样品中优等品有 $50$ 个，正品有 $100$ 个，次品有 $50$ 个，所以优等品、正品和次品的比例为 $1:2:1$．<br/>按分层抽样法，购买灯泡数$$n=k+2k+k=4k(k \in \mathbb N^*).$$因此 $n$ 的最小值为 $4$． 备注2 问题3 某人从这个批次的灯泡中随机地购买了 $3$ 个进行使用，若以上述频率作为概率，用 $X$ 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望． 答案3 $X$ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3 \\ \hline P&\dfrac {27}{64}&\dfrac {27}{64}&\dfrac {9}{64}&\dfrac {1}{64} \\ \hline \end{array}\]$X$ 的数学期望$$E(X)=\dfrac 34.$$ 解析3 $X$ 的所有取值为 $0,1,2,3$．<br/>由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为$$0.1+0.15=0.25,$$从本批次灯泡中购买 $3$ 个，可看成 $3$ 次独立重复试验，所以\[\begin{split}P(X=0)&=\mathrm C_3^0 \times \left(1-\dfrac 14\right)^3=\dfrac {27}{64},\\P(X=1)&=\mathrm C_3^1 \times \dfrac 14 \times \left(1-\dfrac 14\right)^2=\dfrac {27}{64},\\ P(X=2)&=\mathrm C_3^2 \times \left(\dfrac 14\right)^2 \times \left(1-\dfrac 14\right)^1=\dfrac {9}{64},\\ P(X=3)&=\mathrm C_3^3 \times \left( \dfrac 14\right)^3=\dfrac {1}{64},\end{split}\]所以随机变量 $X$ 的分布列为：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3 \\ \hline P&\dfrac {27}{64}&\dfrac {27}{64}&\dfrac {9}{64}&\dfrac {1}{64} \\ \hline \end{array}\]故 $X$ 的数学期望$$E(X)=np=\dfrac 34.$$ 备注3