如图，设 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 内部的一个点，使得 $\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ}$，并且 $AC \cdot BD=AD \cdot BC$，计算比值 $\dfrac {AB\cdot AD}{AC \cdot BD}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \sqrt 2 $
【解析】
方法一：
如图，从 $D$ 向 $\triangle ABC$ 三边引垂线，垂足分别为 $E$、$F$、$G$，连结 $EF$、$FG$、$GE$．因为 $A$、$F$、$D$、$E$ 四点共圆，$AD$ 为直径，由正弦定理得 $\dfrac {EF}{AD}=\sin \angle A=\dfrac {BC}{2R}$，（$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径）故$$EF=\dfrac {1}{2R}AD \cdot BC.$$同理$$FG=\dfrac {1}{2R}AC \cdot BD, GE=\dfrac {1}{2R}AB \cdot CD.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$．而 $\angle 3=\angle 1$，$\angle 4=\angle 2$，因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$方法二：
如图，$AD$、$BD$、$CD$ 的延长线与外接圆分别相交于 $G$、$E$、$F$，连结 $GE$、$EF$、$FG$．因为 $\triangle EFD \sim \triangle CBD$，故$$\dfrac {EF}{FD}=\dfrac {BC}{BD}.$$由 $\triangle FGD \sim \triangle ACD$，得$$\dfrac {FG}{FD}=\dfrac {AC}{AD}.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$．而 $\angle 3=\angle 1$，$\angle 4=\angle 2$，因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，所以 $\triangle ABD \sim \triangle EGD$，得$$\dfrac {AB}{BD}=\dfrac {GE}{GD}.$$$\triangle ACD \sim \triangle FGD$，得$$\dfrac {CD}{AC}=\dfrac {GD}{FG}.$$故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$
如图，从 $D$ 向 $\triangle ABC$ 三边引垂线，垂足分别为 $E$、$F$、$G$，连结 $EF$、$FG$、$GE$．因为 $A$、$F$、$D$、$E$ 四点共圆，$AD$ 为直径，由正弦定理得 $\dfrac {EF}{AD}=\sin \angle A=\dfrac {BC}{2R}$，（$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径）故$$EF=\dfrac {1}{2R}AD \cdot BC.$$同理$$FG=\dfrac {1}{2R}AC \cdot BD, GE=\dfrac {1}{2R}AB \cdot CD.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$．而 $\angle 3=\angle 1$，$\angle 4=\angle 2$，因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$方法二：
如图，$AD$、$BD$、$CD$ 的延长线与外接圆分别相交于 $G$、$E$、$F$，连结 $GE$、$EF$、$FG$．因为 $\triangle EFD \sim \triangle CBD$，故$$\dfrac {EF}{FD}=\dfrac {BC}{BD}.$$由 $\triangle FGD \sim \triangle ACD$，得$$\dfrac {FG}{FD}=\dfrac {AC}{AD}.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$．而 $\angle 3=\angle 1$，$\angle 4=\angle 2$，因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，所以 $\triangle ABD \sim \triangle EGD$，得$$\dfrac {AB}{BD}=\dfrac {GE}{GD}.$$$\triangle ACD \sim \triangle FGD$，得$$\dfrac {CD}{AC}=\dfrac {GD}{FG}.$$故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$
答案
解析
备注
