已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若 $ab=2\sqrt 3$，离心率 $e=\dfrac {\sqrt 6}{3}$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求椭圆方程；标注答案$\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1 $解析依题意，有$$\begin{cases}c=2,\\\dfrac ca=\dfrac {\sqrt 6}{3},\end{cases}$$结合 $a^2=b^2+c^2$，可得 $a^2=6$，$b^2=2$．
因此椭圆方程为$$\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1.$$ -
现有一条斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过椭圆的右焦点 $F$，且与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，$P$ 为直线 $x=3$ 上的一点，试问：是否存在这样的直线 $l$，使 $\triangle ABP$ 为等边三角形，若存在，求出直线 $l$ 的方程，若不存在，说明理由．标注答案存在，直线 $l$ 的方程为 $x-y-2=0$，或 $x+y-2=0$解析假设存在直线 $l$ 满足条件，设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$．
联立方程组$$\begin{cases}y=k(x-2),\\\dfrac {x^2}{6}+\dfrac {y^2}{2}=1, \end{cases}$$消去 $y$ 并整理得$$(3k^2+1)x^2-12k^2x+12k^2-6=0.$$设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，故$$x_1+x_2=\dfrac {12k^2}{3k^2+1},x_1x_2=\dfrac {12k^2-6}{3k^2+1},$$则$$|AB|=\sqrt {1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt {(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\dfrac {2\sqrt 6(k^2+1)}{3k^2+1}.$$设 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，可得$$x_0=\dfrac {6k^2}{3k^2+1},y_0=-\dfrac {2k}{3k^2+1}.$$因为直线 $MP$ 的斜率为 $-\dfrac 1k$，又 $x_P=3$，所以$$|MP|=\sqrt {1+\dfrac {1}{k^2}}|x_0-x_P|=\sqrt {\dfrac {k^2+1}{k^2}}\cdot \dfrac {3(k^2+1)}{3k^2+1}.$$当 $\triangle ABP$ 为正三角形时，$$|MP|=\dfrac {\sqrt 3}{2}|AB|,$$可得$$\sqrt {\dfrac {k^2+1}{k^2}}\cdot \dfrac {3(k^2+1)}{3k^2+1}= \dfrac {\sqrt 3}{ 2} \cdot \dfrac {2\sqrt 6(k^2+1)}{3k^2+1},$$解得 $k=\pm 1$．
因此直线 $l$ 的方程为 $x-y-2=0$，或 $x+y-2=0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
