锐角三角形 $ABC$ 的三边分别记为 $a,b,c$，面积 $S=\dfrac{c^2-(a-b)^2}{4k}$，又 $C$ 既不是最大角也不是最小角，则实数 $k$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据海伦公式，记 $p=\dfrac 12(a+b+c)$，则有\[\begin{split}k&=\dfrac{c^2-(a-b)^2}{4S}\\
&=\dfrac{(c+a-b)(c-a+b)}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\\
&=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-a)}{p(p-c)}}\\
&=\tan\dfrac C2,\end{split}\]又 $C$ 既不是最大角也不是最小角，于是 $C$ 的范围是 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，进而 $k$ 的取值范围是 $\left(\sqrt 2-1,1\right)$．
&=\dfrac{(c+a-b)(c-a+b)}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\\
&=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-a)}{p(p-c)}}\\
&=\tan\dfrac C2,\end{split}\]又 $C$ 既不是最大角也不是最小角，于是 $C$ 的范围是 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，进而 $k$ 的取值范围是 $\left(\sqrt 2-1,1\right)$．
题目
答案
解析
备注
