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函数 $y=\sqrt{5-4x-x^2}+{\log_{\frac12}}(\cos2x+\sin x-1)$ 的定义域是 \((\qquad)\)
A: $\left(0,\dfrac12\right)$
B: $\left[-5,-\dfrac{7\pi}{6}\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$
C: $\left(-\dfrac{7\pi}{6},-\pi\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$
D: $\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的定义域
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解二次不等式
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角方程与不等式
【答案】
C
【解析】
题中函数的定义域\[\begin{split} D&=\{x\mid 5-4x-x^2\geqslant 0\}\cap \{x\mid
\cos2x+\sin x-1>0\}\\
&=\{x\mid (x+5)(x-1)\leqslant 0\}\cap \{x\mid
2\sin^2x-\sin x<0\}\\
&=\{x\mid -5\leqslant x\leqslant 1\}\cap\{x\mid 0<\sin x<\dfrac 12\}\\
&=\left(-\dfrac{7\pi}{6},-\pi\right)\cup\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right).\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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